Lógica

La axiomatización de las matemáticas, de acuerdo con el modelo de Los Elementos de Euclides, había alcanzado nuevos niveles de rigor y envergadura a finales del siglo XIX; particularmente en aritmética(gracias a Richard Dedekind y Giuseppe Peano) y geometría (gracias a David Hilbert). A comienzos del siglo XX, de cualquier manera, la teoría de conjuntos no había sido formalizada. Esta nueva rama de las matemáticas había sido creada por Georg Cantor y puesta en crisis por Bertrand Russell con el descubrimiento de su famosa paradoja sobre el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. La paradoja de Russell consistía en la observación de que si el conjunto x (de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos) es un miembro de sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por otra parte, si el conjunto x no pertenece a sí mismo, entonces debe pertenecer al conjunto de los conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por lo tanto, debe pertenecer a sí mismo.



El problema de una axiomatización adecuada de la teoría de conjuntos fue resuelto, implícitamente, cerca de 20 años después, gracias a Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel, por medio de una serie de principios que permitieron la construcción de todos los conjuntos utilizados en la práctica actual de las matemáticas, pero que no excluía, explícitamente, la posibilidad de la existencia de conjuntos que pertenecieran a sí mismos. En su tesis doctoral de 1925, von Neumann demostró cómo era posible excluir esta posibilidad en dos formas complementarias: el axioma de la fundación y la noción de clase.

• El axioma de la fundación establecía que cada conjunto puede ser construido de abajo hacía arriba en una sucesión de pasos ordenada por medio de los principios de Zermelo y Fraenkel, de tal manera que si un conjunto pertenece a otro, entonces, el primero debe, necesariamente, ir antes del segundo en la sucesión (con esto se excluye la posibilidad de que un conjunto pertenezca a sí mismo). Con el objetivo de demostrar que la adición de este nuevo axioma a los otros no implicaba contradicciones, von Neumann introdujo un método de demostración (llamado método de los modelos internos) que más tarde se convertiría en un instrumento esencial de la teoría de conjuntos. 

• La segunda aproximación al problema toma como base la noción de clase y define un conjunto como una clase que pertenece a otras clases, mientras una clase de propiedad es definida como una clase que no pertenece a otras clases. Mientras en la aproximación Zermelo/Fraenkel los axiomas impiden la construcción de un conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos, en la aproximación de von Neumann la clase de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos puede ser construida pero es una clase de propiedad y no un conjunto. 

Con esta contribución de von Neumann, el sistema axiomático de la teoría de conjuntos se hizo completamente satisfactorio y la siguiente cuestión era si aquel era o no definitivo y no estaba sujeto a mejoras. La contundente respuesta negativa la dio Kurt Gödel, cuando en septiembre de 1930 en el histórico para las matemáticas Congreso de Königsberg, anunció su famoso primer teorema de la incompletitud: los sistemas axiomáticos usuales son incompletos, en el sentido de que no pueden probar cada verdad que es expresable en su lenguaje. Pero von Neumann, que había participado en el congreso, confirmó su fama de pensador instantáneo y, en menos de un mes, estuvo en disposición de comunicarle a Gödel una interesante consecuencia de su teorema: los sistemas axiomáticos usuales son incapaces de demostrar su propia consistencia. Ésta es, precisamente, la consecuencia que ha atraído la mayor atención, incluso si Gödel, originalmente, la consideraba como una simple curiosidad, la habría derivado independientemente, es por esta razón que el resultado es llamado el segundo teorema de Gödel, sin mención alguna a von Neumann.